А.С.Попов родился 4 (17) марта 1859 года в промышленном северном Урале в поселке Турьинские рудники Богословского горнозаводского округа Верхотурского уезда Пермской губернии (ныне г. Краснотурьинск) в семье священника. Кроме Александра в семье было ещё 6 детей. В 10-летнем возрасте он был отправлен за 400 км в Далматовское духовное училище. Через два года переехал в Екатеринбург и перевелся в Екатеринбургское духовное училище. Среднее образование Попов получил в Пермской Духовной семинарии, куда поступил в 1873 году. По окончании семинарии по первому разряду (1877) А.С.Попов поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет. После окончания факультета в 1882 г. Попов как лучший студент остался в университете для преподавательской работы. В 1890 году он получил приглашение на должность преподавателя физики в Техническое училище Морского ведомства в Кронштадте. Тогда это было единственное учебное заведение в России, готовившее специалистов-электротехников для Военно-морского флота.
В 1901 г. Попова назначили профессором Петербургского электротехнического института, а в 1905 г. его избрали ректором. Попов был почётным инженером-электриком (1900) и почётным членом Русского технического общества (1901). В 1888 г. он изучал работы немецкого ученого Герца, в которых доказывалось существование электромагнитных волн, полученных с помощью изобретенного им вибратора. В начале 1895 г. Александр Попов создал уникальный прибор для обнаружения и регистрации электрических колебаний. Это и был первый в мире радиоприемник. 12 (25) марта 1896 на заседании физического отделения Российского физико-химического общества Попов при помощи своих приборов наглядно продемонстрировал передачу сигналов на расстояние 250 м, передав первую в мире радиограмму из двух слов "Генрих Герц". Несколько позднее создал подобные же приборы и провел с ними эксперименты итальянский физик и инженер Г. Маркони. В 1897 он получил патент на применение электромагнитных волн для беспроволочной связи. Попов же свое открытие не запатентовал.
Ранняя смерть 31 декабря 1905 г. (13 января 1906 г.) помешала А.С.Попову стать лауреатом Нобелевской премии, которую Комитет по премиям решил присудить ему в 1909 г. за наиболее значительные работы в области радиотехники. Эту престижную премию присудили Маркони и немецкому учёному Карлу Фердинанду Брауну, создателю оцииллографической электронно-лучевой трубки и системы избирательного приёма радиоволн.